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数学中的对称美  

2015-08-30 16:54:12|  分类: 片雨集 |  标签: |举报 |字号 订阅

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“科学理论的对称性和对称方法来源于自然界的总体机制的对称性”。数学中赏心悦目的对称,正是现实世界形形色色对称的再现。对称和美紧密相联,毕达哥拉斯曾说过;“一切立体图形中,最美的是球形;一切平面图形中,最美的是圆形”,其最基本的就是因为球与圆形具有典型的对称性。

一.对称美与数学

英国数学家罗素说过:“数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且也有至高无尚的美”,数学中的对偶数式、对称图形、曲线与方程的对称以及命题与命题之间结构的对称等等,无不体现了数学对称之美。

数学中的对称美俯拾即是:几何图形的中心对称、轴对称等都给人以舒适美观之感;代数中也充满了对称美:“杨辉三角”体现了许多优美的对称特性;对称多项式、对称恒等式、对称不等式以及对称方程等等都表现出对称美。还有虚根成对定理,奇偶函数、周期函数的图象、互为反函数的图象的关系等,以及形态各异的二次曲线都与对称美密切相关。在数学思维方面,对称方法和反射方法往往使问题解决的过程简捷明快,这些都无不显示出鲜明的数学对称美的魅力。

二.对称美与数学解题

数学中随处可见绚丽多彩的对称美不仅给我们以美的享受,也启发我们用对称的思想,美的方法去捕捉信息,发现规律,解决问题。麦克斯韦对对称美的追求,导致了著名的麦克斯韦方程组的发现,就是数学史上利用对称思想获得巨大成功的范例。我们在解数学题时,如果也能从审美的角度出发去搜集、整理和组合信息,注意挖掘数学对象的某种对称性,有意识地加以利用,并通过各种方法,如用翻转、拼接造成图形对称,用构造、变换、补全求得数、式的对称等,常可使我们很快打开思路,找到解题途径。

1.利用、挖掘对称美,开拓解题思路

在许多数学问题中都包含着对称美,或显性或隐性。因此,只要我们用心去构思、挖掘,就可以把住问题的本质对称美,使我们的思维和推理过程更为清晰简洁。    

1.设等差数列{an}的前n项和为sn,已知a3=12s12>0s13<0

1)求出公差d的取值范围;

2)指出s1s2……s12中哪一个最大,并说明理由。

解:(1)略

2)由等差数列中分别距首末两项等距离的项之和相等这一“对称性”,得:

推得a6>0a7<0,由(1)知等差数列{an}为递减数列,故s6最大。

2.补全、构造对称美,探寻解题新法

有些数学问题只具备对称性问题的一部分或根本不具备对称性的问题,如果我们也能从对称美角度出发,用对称眼光去观察分析问题,根据问题的特点添置适当的辅助元素,即将其补全为具有对称美的问题,或通过类比,构造为对称美问题,并以此为思维导向,往往能寻得巧妙别致的解题思路。

3.在球面上有四个点PABC,如果PAPBPC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,那么这个球面的面积是           

分析:在三棱锥中研究,球的半径不易求出,若把三棱锥补全为具有对称美的边长为a的正方体,就不难求得正方体的外接球半径为,从而求得S球面=3a2

三.对称美与数学教学

教学活动是教师的“教”和学生的“学”的双边活动,教学过程是教师传递知识,学生接受和探索新知识的过程。如果在教学中教师能注意挖掘不同数学知识之间的内在联系、数式之间的对称和图形之间的对称关系,不断让学生欣赏到数学中的对称美,对于激发学生的学习兴趣,培养创造思维能力,陶冶学生的思想道德情操有着不可低估的作用。

1.以美激趣,提高能力

“爱美之心,人皆有之”,特别是中学生表现得尤其明显。如果我们在数学教学中恰当运用美的愉悦特征,通过挖掘教材中的数学对称美的因素,揭示数学知识结构内在联系的对称美和数学方法的对称美,就能激起学生的学习兴趣,提高数学能力。

1)揭示对称美,提高学生的联想、概括能力。数学中美的因素无处不在,教师要善于发现,有意突出,及时向学生展示,使学生掌握知识,提高分析、概括和解决问题的能力。例如在教二项式系数的性质这一节时,可以再次利用“杨辉三角”,根据杨辉三角的对称结构特点,归纳出以下四个性质

    

            

                 

                      

                         

 

 

 

 

①在二次展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,也就是组合数的性质;②除1以外的数都等于它肩上两数之和,即组合数的重要性质;③第n+1行各数之和等于2n,即二项展开式中所有二项式系数的和等于2n,;④同一行上奇、偶数位上各数之和相等,即二项展开式中,奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和 =…。

从以上可以看出,一个简单的数字结构,却蕴含着组合恒等式、二项展开式系数间关系等一系列奇妙的性质,反映出令人惊讶的数学之美。

2)运用对称美,增强学生的理解记忆能力。学生的理解记忆能力对数学知识的掌握起着重要作用,巧妙的记忆方法,能提高记忆能力。教学中可以通过挖掘数学中美的因素来增强学生理解记忆能力,当我们寻找到数学中的对称美时,数学的抽象性就不再那么难以理解记忆。如正弦函数y=sinx在定义域R上的图象可以把它看成关于x=k+(k)的轴对称,也可以看成关于(k,0) (k)的中心对称;余弦函数y=cosx在定义域R上的图象可以把它看成关于x= k(k)的轴对称,也可以看成关于(k+,0)(k)的中心对称。

3)追求对称美,激发学生学习数学的兴趣。数学美能唤起良好情感,让学生感到数学学习是十分有趣的,是一种需要,而不是一种负担。在教学中我们要善于挖掘,并把它融入到课堂教学中。如在推导椭圆、双曲线的标准方程时,注意讲清为何将坐标原点选在两定点F1F2的中点,又为何设=2c,设定长为2a,使学生懂得这一切都是为了追求对称美,正由于这样做,方程才显得简洁优美。学生兴趣大增,从而促进了知识的正迁移,那种认为数学单调枯燥等偏见也会随之逐步改变,进而引发其内驱力去钻研学习。

2.以美启真,陶冶情操

前苏联教育家苏霍姆林斯基说过:“美是一种心灵的体操—它使人们的精神正直、心地纯洁和信念端正”,教学中揭示和应用数学对称美对于陶冶学生的思想道德情操也有着不可低估的作用。这也是我们结合学科特点教书育人的重要内容之一。教学过程是师生间情感交流,心灵接触的过程,数学教师要善于把自己的情感移到数学对象上,捕捉良机,通过对数学美的追求和感受,来引导学生用美的思想去开启数学真理,用美的方法去发现数学规律,解决数学问题,激发学生对真、善、美的追求,从而使数学美转化为育人的因素。只要我们用心、留心数学中的对称美,就能使智育和德育巧妙结合,让数学美陶冶出学生的心灵美。

 

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